δ-函数

δ-函数即狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是一个广义函数,在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布,该函数在除了零以外的点取值都等于零,而其在整个定义域上的积分等于1。

狄拉克δ函数在概念上,它是这么一个“函数”:在除了零以外的点函数值都等于零,而其在整个定义域上的积分等于1。

物理学中常常要研究一个物理量在空间或时间中分布的密度,例如质量密度、电荷密度、每单位时间传递的动量(即力)等等,但是物理学中又常用到质点、点电荷、瞬时力等抽象模型,他们不是连续分布于空间或时间中,而是集中在空间中的某一点或者时间中的某一瞬时,那么它们的密度应该如何表示呢?

为了在数学上理想地表示出这种密度分布,引入了δ函数的概念。用数学表示为:

上述表达式不规定δ函数在0点的取值,是因为这个值无法严谨地表述出来,不能笼统的定义为正无穷,并且函数取值的“大小”是由第二个积分式决定的,因此只需限定取值为零的区域即可。如果函数不在0点取非零值,而在其他地方,可定义:

在多维空间中的δ函数定义如下:

例如在三维空间中,三维δ函数可表示为三个一维δ函数乘积表示,在直角坐标系中,

在极坐标系中,

在球坐标系中,

多维的δ函数主要性质:

δ函数可以表示如下:

点电荷等抽象模型的密度分布可以表示为:

一组点电荷的电荷密度可以表示为:

不仅可以用δ函数表示点电荷的密度分布,还可以表示圆柱、球壳上的电荷密度。例如,在电荷q均匀分布在半径为a的球上,在球坐标系中其电荷密度为:

电学的高斯定理微分形式为:

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