Θ函数

数学中,Θ函数是一种多复变特殊函数。其应用包括阿贝尔簇与模空间、二次形式、孤立子理论;其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论,尤其于超弦与D-膜理论。Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“z” 变量,Θ函数是拟周期函数(quasiperiodic function),具有“拟周期性”。在一般下降理论(descent theory)中,此来自线丛条件。

雅可比Θ函数取二变量

可定义辅助函数:

若设


  

是为四次费马曲线。

雅可比恒等式描述模巩霸群在Θ函数之作用;模群之生成元为T: τ ↦ τ+1与S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。设:

我们翻欢船可用变量

此表示式不需要指数函数,所以适用于指数函数无每一处定义域,热润燥如p进数域。

雅可比三重积恒等式(Jacobi's triple product identity)中指出:若有复数

此式可以用基本方法证明,如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》。

若用nome变量

由此得到Θ函数的积公式:

三重积等式左边可以扩展成:

雅可比Θ函数可用积分表示,如下:

黎凶习罪葛曼尝用关系式

雅可院习盼比用Θ函数来构造椭圆函数,并使其有易于计算之形式。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造:

设η为戴德金η函数。则

雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设z = x取实值,τ = it而t取正值。则有

雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。

若F为一n元二次型,则有一关连的Θ函数

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