p进数分析

p进数分析是研究变量为p进数的函数之,属于数论研究中的领域。

p进数域是有理数域装备了与欧几里德范数不同的p进范数后进行拓扑完备化得到的完备道欢榆煮数域,一般记作。同样是有理数域的完备化,与实数域有许多差异之处。然而,同样可以对自变量取自中或值域在中的函数定义极限、微分、积分等概念,从而建立类似于实分析的分析学。定义在上的复值函数是局部紧群理论的研究对象。而通常意义上的p进分析也指研究取值在上的函欢鸦和数之分析性质的理论。

p进数分析主要应用在数论中。在丢番图几何腊故束禁与丢番图逼近理论中,p进数分析有重谜乐要作用。有些应用甚至需要涉及到基于p进数的泛采枣炼函分析和谱理论。p进数分析在多重意义上较传统的实分析或复分析更为“简放求炼单”。这是因为p进数域的拓扑对应的是超度量而不是阿基米德度量。超度量对应的“三角不等式”相较阿基米德度量的三角不辣牛柜等式更强,因此能够导出更强的结论。例如在级数论中,p进数项构成的无穷级数的收敛条件比实数项或复数项无穷级数的更简单。基于同样的原因,p进数域上的拓扑向量空间与实数域或复数域上的拓扑向量空间不同。例如前者中与凸性相关的性质以及哈恩-巴拿赫定理都不同于后者中的对应性质与定理。

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