双曲正弦函数

双曲正弦函数是双曲函数的一种。双曲正弦函数在数学语言上一般记作sinh,也可简写成sh。与三角函数一样,双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种,双曲正弦函数和双曲余弦函数是双曲函数中最基本的两种,由这两个函数可推导出双曲正切函数等等。

双曲正弦函数的定义式为:

sinhx=[e^x-e^(-x)]/2

应用上常遇到以e为底的指数函数

当x的绝对值很大时,双曲正弦函数的图形在第一象限内接近于曲线

双曲正弦函数的定义域为

双曲正弦函数是奇函数,它的图形通过原点且关于原点对称 。

证明如下:

根据奇函数的定义浆狼棕您,可得出上述结论。

双曲正弦函数在区间

查双曲函数的导数公式,得到:

而双曲余弦函数的值域是

无论是双曲正弦函数y=sinhx,还是双曲正切函数y=tanhx、双曲余弦函数y=coshx,它们都不是周期函数。

双曲正弦函数在

证明:根据函数凹凸性的判定定理:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么:

(1)若在(a,b)内,

(2)若在(a,b)内,

根据双曲函数的导数公式,求得双曲正弦函数的二阶导数 为:

可见,双曲正弦函数的二阶导数仍然是双曲正弦函数(它本身),而根据双曲正弦函数的单调性,且sinh0=0。可知当x>0时,sinhx的二阶导数大于0。x<0时樱拜享,sinhx的二阶导数小于0,则可得出上述结论。

双曲正弦函数的导数是双曲余弦函数,即

双曲正弦函数阿淋弃的积分 是这样的:

双曲正弦函数的泰勒展开式 为:

双曲正弦函数的反函数是反双曲正弦函数,数学表示上记作arsinh。它的定义式为:

函数y=arsinhx的定义域为

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